高中数学必修1知识点

xiaoxiao 5月前 1466

第一章 集合与函数概念 
                      
  第一节 集合 
一、集合有关概念 
1、集合的含义:集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东               西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 
一般地把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合,简称为集。 2、集合的中元素的三个特性: 
(1)元素的确定性:集合确定,则一元素是否属于这个集合是确定的:属于或不属于。例:世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人……,而“较大的数”、“好人”等就不能构成集合。 
(2)元素的互异性:一个给定集合中的元素是唯一的,不可重复的。 
例:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} 
(3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的,并且改变位置不影响集合,即集合中的元素相互交换次序后所得的集合与原来的集合是同一个集合。 
例:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 
3.集合的表示:  
集合的表示方法:常用列举法与描述法。 
通常用大写拉丁字母A,B,C等表示集合,用小写拉丁字母a,b,c等表示集合中的元素。 
(1)列举法:将集合中的元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来。  
{a,b,c……} 
(2)描述法:将集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合。常用模式{x︱p(x)},x表示这个集合元素的一般符号,p(x)表示x所具有的公共属性。   如 {x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 
说明:(1)一般地,对所含元素较少的集合宜采用列举法;对无限集或元素
较多的有限集易采用描述法。 
(2)使用列举法时,需要注意以下几点:① 元素间用逗号隔开; ②元素不能重复;③ 元数间不用考虑先后顺序;④ 若集合中的元素是有规律的,则在规律显示清楚后可以省略号,如{0,1,2,3,?,100} 
         (3)使用描述法时,若是多层描述,应当准确使用“且”“或”。 (3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 
(4)Venn图: 画出一条封闭的曲线,曲线里面表示集合。 4、集合的分类: 
(1)有限集:含有有限个元素的集合 (2)无限集:含有无限个元素的集合 
(3)空集:不含任何元素的集合  例:{x|x2=-5} 5、元素与集合的关系: 
    (1)元素在集合里,则元素属于集合,即:a?A 
    (2)元素不在集合里,则元素不属于集合,即:a ? A 6、常用数集及其记法: 
 

非负整数集(即自然数集,包含0) 记作:N     
正整数集  N*或 N   (注意“*”与“ ”号所处的位置,不要混淆) 整数集Z      有理数集Q      实数集R  
二、集合间的基本关系 
1.“包含”关系—子集 
定义:如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A是集合B的子集。记作:A?B(或B?A) 
注意:A?B有两种可能(1)A是B的一部分;(2)A与B是同一集合。 
?B或B??A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?说明:从定义看,对任意x?A,都有x∈B成立,这可作为证明A?B的方法;
反之,若A?B,则对任意x?A,则必有x∈B成立。 2.“相等”关系: 
定义:一般地,如果集合A是集合B的子集(A?B)且集合B是集合A的子集(B?A),则称集合A与集合B相等。 
实例:设  A={x|x2-1=0}  B={-1,1}   “元素相同则两集合相等” 说明:本定义是证明两个集合相等的依据,预证A=B,只需证A?B与B?A 都成立即可,尤其对两个相等集合都有无限多个元素时,用此定义证明就比较方便。 3、真子集:如果集合A?B,但存在元素x∈B,且x ? A,那就说集合A是集合B的真子集,记作A
B(或B
A) 
说明:(1)根据真子集的概念,集合A是集合B的真子集,需要满足两个条件: 
① 集合A是集合B的子集;② 存在元素x∈B,且x ? A。      (2)集合A是集合B的子集包括A=B和A
B两种情况,两者必居其一。 
4、空集的概念:不含任何元素的集合叫做空集,记为?。                要注意?与{0}的区别。 
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。        
5、子集、真子集的性质: 
(1)任何一个集合是它本身的子集,即A?A,特别的,? ? ?。 (2)子集和真子集具有传递性:如果 A?B, B?C ,那么 A?C; 
如果A
B,B
C,则A
C。 
(3)如果A?B  同时 B?A 那么A=B 
说明:有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集。在写子集的过程中,不要漏掉空集的集合本身。 
 

三、集合的运算 
运算类型    定义 交   集 由所有属于A且属于B的所有元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A∩B(读作‘A交B’),即A∩B={x|x?A,且x?B}. 并   集 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:A∪B(读作‘A并B’),即A∪B ={x|x?A,或x?B}). 全集和补集 全集定义:一般地,若一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,我们就称这个集合为全集,通常记作:U 补集定义:对于一个集合A,由全集U中不属于A的所有元素组成的集合,叫做集合A现对于全集U的补集(或余集)记作CuA, CuA ={x|x?A, x?U} 韦恩图示  性    A ∩ A=A   质 A ∩Φ=Φ A ∩B=B∩A A ∩B?A   A ∩B?B A?B→A∩B=A                   AUA=A    AUΦ(CuA)∩(CuB)= Cu(AUB) =A (CuA) U (CuB)= Cu(A∩B) AUB=BUA  AU(CuA)=U A∩(CuA)=Φ. AUB?A,AUB?B Cu(CuA) =A  A?B→AUB=B 说明 当集合A、B没有对于集合A、B中相根据补集的定义,在知道全集的条公共元素时, 同的元素,在A∪B件下,求集合A,只要先求(CuA),A ∩B=Φ 中只能出现一次。 利用这个可以解决正面入手较难的问题。 解题方法总结: (1) 集合的运算问题,常画出Venn图辅助求解。 (2) 对于含有参数的问题,依据题目条件求出参数值后,需将参数值代回检查,
舍去不合题意的参数值。 容斥原理: 
 
 3 
在计数时,必须注意无一重复,无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法,这种方法的基本思想是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。  两个集合的容斥关系公式:A∪B = A B - A∩B (∩:重合的部分)  
三个集合的容斥关系公式:A∪B∪C = A B C - A∩B - B∩C - C∩A  A∩B∩C                    第二节 函数及其表示 
一、函数的概念: 
1、函数的定义: 
(1)传统定义:在一个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定一个x值,相应地就确定唯一的一个y值,那么就称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量。x的取值范围叫做该函数的定义域,相应y的取值范围叫函数的值域。 (2)近代定义:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 
说明:① 判断一个对应关系是否是函数,应从两个方面判断:1)A,B必须是非空数集;2)A中任何一个元素在B中必须有唯一元素与其对应,即A与B是“一对一”或“多对一”,而不能是“一对多”关系。 
② 定义域或值域是空集的函数不存在。 
 
(3)求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: ① 分式的分母不等于零;  
② 偶次方根的被开方数不小于零;    ③ 对数式的真数必须大于零; 
④ 指数、对数式的底必须大于零且不等于1.   
⑤ 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. ⑥ 指数为零底不可以等于零,   
⑦ 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (4)值域 : 先考虑其定义域 
① 观察法:直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域;   ② 反表示法:针对分式的类型,把Y关于X的函数关系式化成X关于Y的函数关系式,由X的范围类似求Y的范围。 
③ 配方法:针对二次函数的类型,根据二次函数图像的性质来确定函数的值域,注意定义域的范围。   
④ 代换法(换元法):作变量代换,针对根式的题型,转化成二次函数的类型。 
(cx+d) (ax+b)求值域时,形如 
(a≠0,bc≠ad)的值域为{y|y≠c/a} 

2、区间与无穷的概念: 
(1)区间的定义:设a,b?R ,且aa,x?b,x1,且n∈N*. 
(2)n次方根的性质:①当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数。此时,a的n次方根用符号na表示。 
② 当n为偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数。此时正数a的正的n次方根用符号na表示,负的n的次方根用符号-na表示(a>0)。 注意:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作n0?0。 
(3)根式的概念:一般地,式子na叫做根式,这里n叫根指数,a叫被开方数,其中n>1,且n∈N* 
(4)根式的性质:① (na)n =a (n>1,且n∈N*) 
?a(a?0)② 当n是奇数时,a?a,当n是偶数时,a?|a|?? 
?a(a?0)?nnnn2、分数指数幂 
   正数的分数指数幂规定为: 
a?a(a?0)a?mn1nna?nam(a?0,m,n?N*,n?1)1am(a?0,m,n?N*,n?1) 
mn,
?1mn?a说明:1)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 
      2)对于根式运算,简单的问题可以根据根式的意义直接计算;一般可将根式化为分数指数幂,利用分数指数幂的运算性质进行计算。 
 


3、有理数指数米的运算性质 
   整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂同样适用: 
rr?sr(1)a·a?a  
(a?0,r,s?Q); (a?0,r,s?Q); (a?0,b?0,r?Q). 
rsrs(a)?a(2) 
 
rrs(ab)?aa  (3)
4、无理数指数幂 
一般的,无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数。有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。  
说明:一般地,进行指数幂运算时,化负数为正数,化根式为分数指数幂,化小数位分数进行运算。  
二、指数函数及其性质 
1、指数函数的概念: 
定义:一般地,函数y?ax(a?0,且a?1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R. 
判断是否是指数函数,以下三点缺一不可: 
1)底数:大于0且不等于1的常数;       2)指数:自变量x; 
3)系数:1。 
说明:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.因为: (1) 如果a=0,当x > 0时,ax恒等于0;当x≤0是,ax无意义。 
(2) 如果a<0,比如y=(-4)x,这时对于x=1/4,x=1/2等在实数范围内的
函数值不存在; 
(3) 如果a=1,y=1x=1,是一个常量,对它没有研究的必要。  
2、指数函数y?ax(a?0,且a?1)的图像及其特点 
a>1 65010 

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图像上升的趋势愈来愈陡。 x> 0,y>1; x<0,0<y<1 非奇非偶函数 函数图象都过定点(0,1) 图像下降的趋势愈来愈缓慢。 x> 0,0<y<1; x<0,y>1 非奇非偶函数 函数图象都过定点(0,1) 说明:函数y?ax(a?0,且a?1)的图象与y=(1/a)x的图象关于y轴对称。 
 
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上,值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]; 
(2)若x?0,则f(x)?1;f(x)取遍所有正数当且仅当x?R; (3)对于指数函数f(x)?ax(a?0且a?1),总有f(1)?a; (4)当a>1时,若X11和0<a<1两种情况讨论; (2)比较幂的大小常用以下方法: 
     1)同底数幂利用函数单调性来比较; 
     2)底数不同,指数相同,根据图像的变化规律比较;      3)底数、指数不同,则通过中间值比较。 
第二节  对数函数 
一、对数与对数运算 
1、对数的概念: 
(1)定义:一般地,如果ax?N(a?0,a?1),那么数x叫做以 .a为底..N的对数,记作:x?logaN(a— 对数的底数,N— 真数,logaN— 对数式) (2)指数式与对数式的对照表如下:       a 底数 指数式ab?N  
11 
  N   幂     b   指数 对数式b?logaN 对数的底数 真数   对数  
说明:① 注意底数的限制a?0,且a?1;注意真数N的限制:N>0; 
② ax?N?logaN?x; ③注意对数的书写格式:loga(3)两个重要对数: 
① 常用对数:以10为底的对数lgN; 
② 自然对数:以无理数e?2.71828?为底的对数lnN. 2、对数的运算性质 
如果a?0,且a?1,M?0,N?0,那么: 
 ① log1?0;loga?1;  alogaN=N(对数恒等式) 
aaN 
② loga(M·N)?logaM+logaN; ③ logaM?logaM-logaN; N④logaMn?nlogaM  (n?R). ⑤ 换底公式:logab?logcb   (a?0,且a?1;c?0,且c?1;b?0). logca利用换底公式推导下面的结论 (1)logabn?m1n. logab;(2)logab?mlogba(3)logab·logbc=logac 
二、对数函数及其性质 
1、对数函数的概念:函数y?logax(a?0,且a?1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0, ∞). 
注意:① 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别:logax前面的系数必须是1;自变量x在真数的位置上。如:y?2log2x,y?log5是对数函数,而只能称其为对数型函数. ② 对数函数对底数的限制:(a?0,且a?1). 2、对数函数图象的性质: 
 
12 

5都不
a>1 32.521.501,y>0; 0<x<1,y<0 x> 1,y<0;0<x<1, y>0 图象向下无限接近于y轴 图象向上无限接近于y轴  说明:函数y?logax的图象与y?log1/ax的图象关于x轴对称。 3、不同底数的对数函数图象之间的变化规律:(可用来比较对数大小) 
y1132y?log2xy?log3xy?log10x10.10y?log0.1xy?log1x3xy?log1x2 
(1) 对于几个a>1的对数函数:底数越大,函数图象向右的方向越接近x轴; (2) 对于几个0<a<1的对数函数:底数越大,函数图象向右的方向越远离接
近x轴; 
(3) 以上规律可总结成“底大头低”四个字来理解。 4、反函数: 
(1)定义:一般地,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,根据这个函数中x,y 的关系,用y把x表示出,得到x= g(y). 若对于y在C中的任何一个值,通过x= g(y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么,x= g(y)就表示y是自变量,x是因变量y的函数,这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作y=f -1 (x)。 反函数y=f -1 (x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。 
(2)求反函数的步骤: 
   ① 反解:由y=f(x)解出x关于y的式子x= g(y); 
   ② 互换:根据习惯将x= g(y)中的x、y互换位置:y=g(x); 
 
13 
 ③ 确定反函数定义域:将原函数y=f(x)的值域作为反函数y=g(x)的定义域。 (3)反函数性质: 
①互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称;                                                   
 
②函数存在反函数的充要条件是,函数的定义域与值域是一一映射;     ③ 一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致; 例如:对数函数和指数函数互为反函数 1) 两者定义域与值域互换 函数 y=ax   (a>0,a ≠ 1) y= logax   (a>0,a ≠ 1) 定义域 值域  (-?, ?)  (0, ?)  (0, ?)  (-?, ?)  
2) 图象关于直线  y=x 对称 3) 具有一致的单调性 
 
5、求函数定义域应注意的问题: (1)分式中分明不等于零; 
(2)偶次根式中被开方数大于或等于0; (3)指数为0的幂的底数不等于0; (4)对数的底数大于0且不等于1; (5)对数的真数大于0。 
(6)如果在一个函数中数条并存,求交集。 
三、幂函数 
1、幂函数定义:一般地,形如y?x?(a?R)的函数称为幂函数,其中x是自变
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量,?为常数。 
说明:有幂函数定义可知,它的系数为1,自变量x为幂的底数,指数?为任意实数,且项数只有一项。 2、幂函数的图象 
   当?=1,2,3,1/2、-1时的图象如下所示: 
 
3、幂函数性质归纳: 
(1)所有的幂函数在(0, ∞)都有定义并且图象都过点(1,1);当α为奇数时,幂函数为奇函数;当α为偶数时,幂函数为偶函数。 
(2)??0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,??)上是增函数.特别地,当??1时,幂函数的图象下凸;当0???1时,幂函数的图象上凸; 
(3)??0时,幂函数的图象在区间(0,??)上是减函数.在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于??时,图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. (4)幂函数y=x^α:重点是α=±1,±2,±3,±1/2.  α的值  y=x0 y=x  定义域 (-∞,0)∪(0,+∞) (-∞,+∞) 值域 {1} (-∞,+∞) 单调性  增函数 y=x2 (-∞,+∞) [0,+∞) 减区间(-∞,0],增区间[0,+∞) 奇偶性 偶函数 奇函数 偶函数 图象及定点 平行于x轴的直线一过点(1,1), 过点(1,1),条(剔去点(0,1)) 直线 抛物线 注:当α=2n, n∈N+时,幂函数y=xα也具有y=x2的上述性质。 α的值   y=x3  y=x-1 y=x-2  定义域 (-∞,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞)) (-∞,0)∪(0,+∞)) 值域 (-∞,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞)) [0,+∞) 单调性 增函数 减区间: 增区间(-∞,0),减区(-∞,0)和 (0,+∞)) 间(0,+∞) 奇偶性 奇函数 奇函数 偶函数 图象及定点 过点(1,1),过点(1,1), 双曲过点(1,1),分布在一、 
15 

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立方抛物线 线 二象限的拟双曲线 注:1)当α=2n+1, n∈N+时,幂函数y=x^α也具有y=x3的上述性质。 2)当α=-2n, n∈N+时,幂函数y=x^α也具有y=x-2上述性质。 α的值   y=x-3  y=x1/2 y=x1/3  定义域 (-∞,0)∪(0,+∞)) [0,+∞) (-∞,+∞) 值域 (-∞,0)∪(0,+∞)) [ 0,+∞) (-∞,+∞) 单调性 减区间: 增函数 增函数 (-∞,0)和 (0,+∞) 奇偶性 奇函数 非奇非偶 奇函数 图象及定点 过点(1,1)双曲线过点(1,1), 分布过点(1,1),与立型 在一象限的抛物线方抛物线y=x^3关弧(含原点) 于直线y=x对称 注:1)当α=-2n+1, n∈N+时,幂函数y=x^α也具有y=x-3上述性质。 2)当α=(2n+1)/(2m), m,n∈N+时,幂函数y=x^α也具有y= x1/2上述性质。 
3)当α=(2n-1)/(2m+1), m,n∈N+时,幂函数y=x^α也具有y=x1/3上述性质。 α的值  y=x-1/2 y=x-1/3 y=x-1  定义域 (0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞)) (-∞,0)∪(0,+∞)) 值域 (0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞)) (-∞,0)∪(0,+∞)) 单调性 减函数 减区间: 减区间: (-∞,0)和 (0,+∞)) (-∞,0)和 (0,+∞)) 奇偶性 非奇非偶 奇函数 奇函数 图象及定过点(1,1),只分布过点(1,1), 过点(1,1), 点 在一象限的双曲线弧 双曲线型 双曲线型 注:1)当α=-(2n-1)/(2m), m,n∈N+时,幂函数y=x^α也具有y=x-1/2上述性质。 
2)当α=-(2n-1)/(2m+1), m,n∈N+时,幂函数y=x^α也具有y=x-1/3上述性质。 
四、本章解题方法总结 
1、函数图象变换总结: (1)平移变换规律 
  ① 水平平移:y=f(x+ )的图象,可由y=f(x)的图象向左( >0), 或向
右( <0)平移| |个单位得到。 
  ② 垂直平移:y=f(x) b的图象,可由y=f(x)的图象向上(b>0)或向下(b
<0)平移|b|个单位得到。 (2)对称变换规律 
① y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称。 ② y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称。 
③ y=f -1(x)与y=f(x)的图象关于直线y=x对称。 
④ y=-f-1(-x)与y=f(x) 的图象关于直线y=-x对称。 ⑤ y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称 
⑥y=f(x) →y=f(2a-x)图象关于直线 x=a 对称; 
 
16 
⑦y=f(x) →y=2b-f(x)图象关于直线 y=b 对称. ⑧y=f(x) →y=2b-f(2a-x)图象关于点 (a,b)对称. (3)翻折变换主要有 
①y=f(x)→y=f(|x|)的图象在y轴右侧(x>0)的部分与y=f(x)的图象相同,在y轴左侧部分与其右侧部分关于y轴对称. 
②y=f(x)→y=|f(x)|的图象在x轴上方部分与y=f(x)的图象相同,其他部分图象为y=f(x)图象下方部分关于x轴的对称图形. (4)伸缩变换规律 
① 水平伸缩:y=f(ωx)(ω>0)的图象,可由y=f(x)的图象上每点的横坐标
1
伸长(0<ω<1) 或缩短( ω>1)到原来的 倍(纵坐标不变)得到。 
 ω
② 垂直伸缩:y=Af(x)(A>0)的图象,可由y=f(x)的图象上每点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍(横坐标不变)得到。 
     注:函数y=Asin(ωx+ )(A>0, ω>0) 的图象变换规律,是上述平移
变换与伸缩变换结合在一起的特殊情况,这一变换规律对一般函数y=Af(ωx+ ) (A>0, ω>0)也成立。 2、比较函数值大小的方法总结: 
(1)直接法:直接利用函数的单调性比较; 
(2)作差法:把两数做差变形,然后与0比较大小; (3)作商法:计算两数的商,然后与1比较大小; (4)媒介法:选适当的中间量,间接比较大小。  
第三章 函数的应用 
                        第一节 函数与方程 
一、 方程的根与函数的零点: 
1、 函数的零点的概念: (1) 定义:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。 (2) 函数的零点的意义:函数y=f(x)的零点就是方程f(x) =0的实数根,也就
是函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标,所以方程f(x) =0有实数根函数y=f(x)的图像与x轴有交点函数y=f(x)有零点。 
  说明:①“方程的根”与“函数的零点”尽管密切联系,但不能混为一谈,函
数的零点是实数而不是数轴上的点,当方程有两个相等实数根时,却只能有一个对应的零点。 
        ② 函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的实数根,也就是
函数y=f(x)与y=g(x)的图像的交点的横坐标。 
2、 二次函数的零点个数与相应二次方程的实根个数的关系: 判别式 方程ax2?bx?c?0(a?0)的根 函数y?ax2?bx?c(a?0)  ??0 两个不相等的实根 17 
两个零点  
一个二重零点(二阶零点) 无零点 bc韦达定理:一元二次方程的两根之和x1?x2??,两根之积x1x2?。 
aa3、 二次方程实根的分布问题 根的分x1?x2?k k?x1?x2 x1?k?x2 布    x2x1图像 k x1k x1x2 x2k     充要条件 根的分布     图像 ??0 ??0 两个相等的实根(重根) 无实根  ?f(k)?0,?b??k, ???2a????0?f(k)?0,?b??k, ???2a????0  f(k)?0 x1,x2?(k1,k2) k1?x1?k2?x2?k3 在(k1,k2)内有且仅有一个根 k1x1 x2 k2 x1k1      k2 x2 k3 k1 k2         充要条件    f(k1)f(k2)?0或??0 ?b?(k1,k2) 2a?f(k1)?0,?f(k)?0,2?? ?b?k1??2a?k2,?????0?f(k1)?0,??f(k2)?0, ?f(k)?03??f(k1)?0,?或?bk1?k2 k???1?2a2??f(k2)?0,?或?k1?k2 b???k2?22a? 4、 函数零点的存在性: 
 
18 
定理:若函数y?f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即f(a)?f(b)?0,则在区间(a,b)内,函数y?f(x)至少有一个零点,即相应的方程f(x)?0在区间(a,b)内至少有一个实数解。这种利用函数性质判定方程实数解的方法也叫零点分析法。 
零点分析法的几何意义是,在闭区间[a,b]上有连续曲线y?f(x)且连续曲线的始点(a,f(a))与终点(b,f(b))分别在x轴的两侧,则此连续曲线至少与x轴有一个交点。 
o a b x  
 
说明: 
(1)符合该定理的条件,能确定f(x)在(a,b)内有零点,但零点不一定唯一。 (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定,如f(x)=x2-3x 2,有
f(0)·f(3)>0,但函数f(x)在区间(0,3)上有两个零点。 (3)若f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的,且是单调函数,f(a)?f(b)?0,
则f(x)在区间[a,b]上有唯一的零点。 
二、 用二分法求方程的近似解 
1、 二分法的概念:对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫二分法。 2、用二分法求函数零点的一般步骤 
第一步  在定义域内取一个闭区间[a0,b0],使f(a0)和f(b0)异号,即
f(a0)?f(b0)?0,零点位于区间[a0,b0]中。给定精确度。 
第二步  取区间[a0,b0]的中点,则此中点对应的坐标为
11x0?a0?(b0?a0)?(a0?b0)。计算f(x0)和f(a0),并判断: 
22(1)如果f(x0)?0,则x0就是f(x)的零点,计算终止; 
 
19 
(2)如果f(a0)f(x0)?0,则零点位于区间[a0,x0]中,令a1?a0,b1?x0; (3)如果f(a0)f(x0)?0,则零点位于区间[x0,b0]中,令a1?x0,b1?b0。 第三步 判断:判断是否达到精确度:即若|a-b|<精确度,则得到零点近似值a(或b);否则,重复第二到第三步。 
第二节 函数模型及其应用 
一.三类函数增长差异的比较: 
在区间(0, ∞)上,尽管函数y=ax(a>1)、y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数,但它们增长的速度不同。随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增
n
长速度则会愈来愈慢。因此,总会存在一个x0,当x>x0时,就会有logax<x<ax 
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