分数阶环状基因调控网络的状态反馈控制方法及装置与流程

1.本发明涉及基因调控网络控制领域，尤其涉及一种分数阶环状基因调控网络的状态反馈控制方法及装置。


背景技术：

2.非线性现象是自然界和生产实践中最常见的一种现象。近年来随着科学技术的发展，大量的非线性动力系统相继被提出，在这些系统模型中，科学家们发现了大量的复杂非线性现象，比如分叉、混沌、分形等。与线性系统不同，非线性系统不能用叠加原理，其稳定性情况也更加复杂。非线性系统可能存在多个平衡点，并且在不同的平衡点处系统可能是稳定的也可能是分岔的。稳定性是一个系统的基本性能，当系统受到扰动时，可能会偏离平衡状态，需要分析系统的稳定条件与各参数的关系，才能判断系统的稳定性能，从而更加利于后续的研究。一般由常微分方程所描述的动力系统的分岔问题可分为两大类：静态分岔和动态分岔。常见的静态分岔有鞍结分岔、叉形分岔、跨临界分岔，动态分岔有hopf分岔、倍周期分岔、拟周期分岔。对于非线性系统，分岔现象可能产生有害的动力学行为，为了避免，又或为了使系统产生人们所需要的分岔行为，需要设计适当的控制器以改变非线性振动的分岔特性，即分岔控制。目前，对分岔的分析和控制的研究具有重要的科学意义和广泛的应用前景。
3.然而，目前对分数阶环状基因调控网络中的稳定性控制，研究的并不多，在控制方法上比较复杂，效果也并不明显，不能更好地控制实际系统的稳定性和生命特征。
4.上述内容仅用于辅助理解本发明的技术方案，并不代表承认上述内容是现有技术。


技术实现要素：

5.本发明的主要目的在于，解决现有技术中控制方法上比较复杂，控制效果不明显，不能更好地控制实际系统的稳定性和生命特征的技术问题。
6.为实现上述目的，本发明提供了一种分数阶环状基因调控网络的状态反馈控制方法，包括以下步骤：
7.根据基因调控生物学理论，建立无控分数阶环状基因调控网络模型；
8.计算得到所述无控分数阶环状基因调控网络模型的正平衡点；
9.对所述无控分数阶环状基因调控网络模型施加状态反馈控制器，得到受控分数阶环状基因调控网络模型；
10.将所述受控分数阶环状基因调控网络模型在所述正平衡点进行线性化，得到线性化后的受控模型；
11.选取总时滞τ作为分岔条件，对所述线性化后的受控模型进行稳定性分析，得到受控模型的临界分岔时滞τ0′
和稳定性分析结果；
12.根据所述受控模型的稳定性分析结果确定所述状态反馈控制器的参数值，以实现
对分数阶环状基因调控网络的状态反馈控制。
13.进一步地，在所述对无控分数阶环状基因调控网络模型施加状态反馈控制器，得到受控分数阶环状基因调控网络模型的步骤之前，还包括：
14.将所述无控分数阶环状基因调控网络模型在所述正平衡点进行线性化，得到线性化后的无控模型；
15.选取总时滞τ作为分岔条件，对所述线性化后的无控模型进行稳定性分析，得到无控模型的临界分岔时滞τ0和稳定性分析结果；
16.所述无控模型的临界分岔时滞τ0和稳定性分析结果，用于验证所述状态反馈控制器的控制效果。
17.进一步地，所述无控分数阶环状基因调控网络模型的表达式为：
[0018][0019]
其中，i＝1,2,3，m
i
(t)和p
i
(t)分别表示三个基因所对应的mrna和蛋白质的实时浓度，c
i
＞0和b
i
＞0分别表示mrna和蛋白质的降解速率，a
i
＞0表示经过核糖体中的mrna生产蛋白质的速率，τ
mi
＞0表示细胞质内mrna的转录时间，τ
pi
＞0表示一个完整功能的蛋白质分子的形成时间；g(p
i
(t
‑
τ
m
))是具有hill函数的形式，表示mrna基因生成的速率，其表达式为g(p)＝u/(1 (p/p0)
h
)，h是希尔系数，它与分子的结合机制有关，u≥0是有界常数，它表示基因的无量纲转录率，p0＞0是正常数，表示抑制阈值；α∈(0,1]，表示caputo分数阶导数的阶数；
[0020]
令所述无控分数阶环状基因调控网络模型等式的右边等于零，即：
[0021][0022]
得到正平衡点
[0023]
进一步地，所述受控分数阶环状基因调控网络模型为：
[0024][0025]
其中，其中f1,f2,f3分别是状态反馈控制器的控制系数。
[0026]
进一步地，所述将受控分数阶环状基因调控网络模型在所述正平衡点进行线性化，得到线性化后的受控模型的步骤，包括：
[0027]
令v
i
(t)＝m
i
(t
‑
τ
pi
)
‑
m
i
*、v
i 3
(t)＝p
i
(t)
‑
p
i
*(i＝1,2,3)，τ
i
＝τ
mi
τ
pi
(i＝1,2,3)，将正平衡点移动到原点，得到线性化后的受控模型为：
[0028][0029]
进一步地，所述无控模型的稳定性分析结果为：
[0030]
若a
j
＞0(j＝1,2,...,11)，a
12
＜0且δ
j
＞0(j＝1,2...,6)，则下面结论成立：
[0031]
1)当0≤τ＜τ0时，无控分数阶环状基因调控网络模型在正平衡点处渐进稳定；
[0032]
2)当τ＝τ0时，无控分数阶环状基因调控网络模型在正平衡点处产生hopf分岔；
[0033]
3)当τ＞τ0时，无控分数阶环状基因调控网络模型在正平衡点处产生极限环，平衡点失稳；
[0034]
其中，
[0035]
a1＝2l1cos(απ/2)
[0036][0037]
a3＝2l3cos(3απ/2) 2l1l2cos(απ/2)
[0038][0039]
a5＝2l5cos(5απ/2) 2l1l4cos(3απ/2) 2l2l3cos(απ/2)
[0040]
[0041]
a7＝2l1l6cos(5απ/2) 2l2l5cos(3απ/2) 2l3l4cos(απ/2)
[0042][0043]
a9＝2l3l6cos(3απ/2) 2l4l5cos(απ/2)
[0044][0045]
a
11
＝2l5l6cos(απ/2)
[0046][0047][0048]
进一步地，所述受控模型的稳定性分析结果为：
[0049]
若a
j
＞0(j＝1,2,...,11)，a
12
＜0且δ
j
＞0(j＝1,2...,6)，则下面结论成立：
[0050]
1)当0≤τ＜τ0′
，受控分数阶环状基因调控网络模型在正平衡点处渐进稳定；
[0051]
2)当τ＝τ0′
时，受控分数阶环状基因调控网络模型在正平衡点处产生hopf分岔；
[0052]
3)当τ＞τ0′
时，受控分数阶环状基因调控网络模型在正平衡点处不稳定，产生极限环；
[0053]
其中：
[0054]
[0055][0056]
此外，为了实现上述目的，本发明还提供了一种分数阶环状基因调控网络的状态反馈控制装置，包括以下单元：
[0057]
模型建立单元，用于根据基因调控生物学理论，建立无控分数阶环状基因调控网络模型；
[0058]
平衡点计算单元，用于计算得到所述无控分数阶环状基因调控网络模型的正平衡点；
[0059]
状态反馈控制单元，用于对所述无控分数阶环状基因调控网络模型施加状态反馈控制器，得到受控分数阶环状基因调控网络模型；
[0060]
线性化单元，用于将所述受控分数阶环状基因调控网络模型在所述正平衡点进行线性化，得到线性化后的受控模型；
[0061]
稳定性分析单元，用于选取总时滞τ作为分岔条件，对所述线性化后的受控模型进行稳定性分析，得到受控模型的临界分岔时滞τ0′
和稳定性分析结果；
[0062]
控制参数确定单元，用于根据所述受控模型的稳定性分析结果确定所述状态反馈控制器的参数值，以实现对分数阶环状基因调控网络的状态反馈控制。
[0063]
本发明具有以下有益效果：
[0064]
本发明主要针对了基于分数阶环状基因调控网络的稳定性研究及控制，首先根据建立的分数阶环状基因调控网络模型，选取总时滞作为分岔参数，研究系统正平衡点的稳定性。由理论推导可知当总时滞小于系统临界时滞时，系统处于渐进稳定状态，当总时滞大于系统临界时滞时，系统将会发生hopf分岔从而产生周期性振荡和极限环。另外，随着分数阶阶数的减小，系统临界时滞会增大，从而使系统可以在更大的时滞范围内稳定，最后通过数值模拟验证推论的正确性。
[0065]
另外，针对所求出的临界时滞，设计了状态反馈控制器，实现了控制系统在更大范围内保持稳定，通过结果计算出控制器的参数要求，最终通过仿真验证了计算是正确的，系统能够在更大范围内达到稳定。
附图说明
[0066]
下面将结合附图及实施例对本发明作进一步说明，附图中：
[0067]
图1为本发明实施例一种分数阶环状基因调控网络的状态反馈控制方法流程图；
[0068]
图2为本发明实施例一种分数阶环状基因调控网络的状态反馈控制装置结构图；
[0069]
图3为本发明实施例当α＝1，τ＝4.2＜τ0时无控模型的相图；
[0070]
图4为本发明实施例当α＝1，τ＝4.8＞τ0时无控模型的相图；
[0071]
图5为本发明实施例当α＝0.95，τ＝4.8＜τ0时无控模型的相图；
[0072]
图6为本发明实施例当α＝0.95，τ＝5.4＞τ0时无控模型的相图；
[0073]
图7为本发明实施例无控模型临界时滞τ0与分数阶阶数α的关系图；
[0074]
图8为本发明实施例当α＝1，f1＝
‑
0.2，τ＝4.8<τ0'时受控模型的相图；
[0075]
图9为本发明实施例当α＝1，f1＝0.2，τ＝4.2>τ0'时受控模型的相图；
[0076]
图10为本发明实施例当f1＝
‑
0.2，受控模型临界时滞τ0′
与分数阶阶数α的关系图；
[0077]
图11为本发明实施例当α分别取1，0.9，0.8时，受控模型临界时滞τ0′
与状态反馈控制系数f1之间的关系图。
具体实施方式
[0078]
为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本发明实施方式作进一步地描述。
[0079]
应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。
[0080]
参照图1，本发明提供一种分数阶环状基因调控网络的状态反馈控制方法，具体包括以下步骤：
[0081]
s1、根据基因调控生物学理论，建立无控分数阶环状基因调控网络模型；
[0082]
s2、计算得到所述无控分数阶环状基因调控网络模型的正平衡点；
[0083]
s3、对所述无控分数阶环状基因调控网络模型施加状态反馈控制器，得到受控分数阶环状基因调控网络模型；
[0084]
s4、将所述受控分数阶环状基因调控网络模型在所述正平衡点进行线性化，得到线性化后的受控模型；
[0085]
s5、选取总时滞τ作为分岔条件，对所述线性化后的受控模型进行稳定性分析，得到受控模型的临界分岔时滞τ0′
和稳定性分析结果；
[0086]
s6、根据所述受控模型的稳定性分析结果确定所述状态反馈控制器的参数值，以实现对分数阶环状基因调控网络的状态反馈控制。
[0087]
具体地，根据基因调控生物学理论，建立无控分数阶环状基因调控网络模型：
[0088][0089]
这里仅考虑相邻基因之间的相互作用，而忽略基因内部的其它影响。对于i＝1,2,3，m
i
(t)和p
i
(t)分别表示三个基因所对应的mrna和蛋白质的实时浓度，c
i
＞0和b
i
＞0分别表示mrna和蛋白质的降解速率，a
i
＞0表示经过核糖体中的mrna生产蛋白质的速率，τ
mi
＞0表示细胞质内mrna的转录时间，τ
pi
＞0表示一个完整功能的蛋白质分子的形成时间；g(p
i
(t
‑
τ
m
))是具有hill函数的形式，表示mrna基因生成的速率，其表达式为g(p)＝u/(1 (p/p0)
h
)，h是希尔系数，它与分子的结合机制有关，u≥0是有界常数，它表示基因的无量纲转录率，p0＞0是正常数，表示抑制阈值；α∈(0,1]，表示caputo分数阶导数的阶数。
[0090]
考虑到实际意义，仅对系统(1)正平衡点的稳定性进行分析。由于caputo分数阶导数的性质，可以得到因此分数阶环状基因调控网络的平衡点满足如下方程组：
[0091][0092]
在本实施例中，首先对无控分数阶环状基因调控网络进行稳定性与分岔分析：
[0093]
稳定性是一个系统的基本性能，当系统受到扰动时，可能会偏离平衡状态，需要分析系统的稳定条件与各参数的关系，才能判断系统的稳定性能，从而更加利于后续的研究。
[0094]
令v
i
(t)＝m
i
(t
‑
τ
pi
)
‑
m
i
*、v
i 3
(t)＝p
i
(t)
‑
p
i
*(i＝1,2,3)，假设τ
i
＝τ
mi
τ
pi
(i＝1,2,3)，则系统(1)在平衡点处的线性化方程为：
[0095][0096]
进一步求得系统(3)特征方程为：
[0097][0098]
上面的特征方程等价于：
[0099]
s
6α
l1s
5α
l2s
4α
l3s
3α
l4s
2α
l5s
α
l6 l7e
‑
sτ
＝0
ꢀꢀꢀ
(5)
[0100]
其中
[0101][0102]
下面以系统总时滞作为hopf分岔参数来判断系统的稳定性和周期振荡行为。
[0103]
根据τ的取值不同，主要有接下来两种情况：
[0104]
(1)当系统无时滞(即τ＝0)时，特征方程(5)可改写为：
[0105]
s
6α
l1s
5α
l2s
4α
l3s
3α
l4s
2α
l5s
α
l6 l7＝0
ꢀꢀꢀ
(7)
[0106]
令λ＝s
α
，那么上述模型可转化为
[0107]
λ6 l1λ5 l2λ4 l3λ3 l4λ2 l5λ l6 l7＝0
ꢀꢀꢀ
(8)
[0108]
根据routh
‑
hurwitz稳定性判据可知当δ
j
＞0(j＝1,2...,6)时，方程(8)所有根的辐射主值的绝对值大于απ/2(即arg(λ
k
)＞απ/2,k＝1,2...,6)，分数阶特征方程(7)的所有特征根都具有负实部，那么无时滞环状基因网络模型在平衡点处渐进稳定。δ
j
定义如下：
[0109][0110][0111]
δ6＝δ5(l6 l7)
[0112]
(2)当系统存在时滞(即τ＞0)时，特征方程(5)即为原方程。
[0113]
若是特征方程(5)的根，将s带入特征方程并分离其实部和虚部可得到：
[0114][0115]
其中
[0116][0117]
μ1＝ω
6α
cos(3απ) l1ω
5α
cos(5απ/2) l2ω
4α
cos(2απ) l3ω
3α
cos(3απ/2) l4ω
2α
cos(απ) l5ω
α
cos(απ/2) l6[0118]
η1＝ω
6α
sin(3απ) l1ω
5α
sin(5απ/2) l2ω
4α
sin(2απ) l3ω
3α
sin(3απ/2) l4ω
2α
sin(απ) l5ω
α
sin(απ/2)
[0119]
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(11)
[0120]
由方程(10)可知
[0121][0122]
又因为sin2(ωτ) cos2(ωτ)＝1，所以
[0123]
ω
12α
a1ω
11α

…
a
11
ω
α
a
12
＝0
ꢀꢀꢀ
(13)
[0124]
其中
[0125][0126]
令z＝ω
α
，定义函数
[0127]
h(z)＝z
12
a1z
11

…
a
11
z a
12
ꢀꢀꢀ
(15)
[0128]
若方程h(z)＝0存在一个正根z0，那么方程(13)必然存在一个正根
[0129]
引理1：对于方程h(z)＝0，下边结论成立。
[0130]
(1)当a
j
＞0(j＝1,2,...,12)成立时，方程h(z)＝0无正根。此时特征方程(5)无纯虚根。
[0131]
(2)当a
12
＜0成立时，方程h(z)＝0至少存在一个正根。特征方程(5)有一对纯虚根
±
iω0，满足hopf分岔穿越条件。
[0132]
证明：
[0133]
(1)因为a
j
＞0(j＝1,2,...,11)，所以h'(z)＞0在(0, ∞)上恒成立，即h(z)是一个单调递增函数。同时h(0)＝a
12
＞0，所以方程h(z)＝0在(0, ∞)无正根。
[0134]
(2)因为h(0)＝a
12
＜0并且那么根据零点定理可知必存在一个正数z0使得h(z)＝0。则特征方程(5)有一对纯虚根
±
iω0，满足穿越条件。
[0135]
当函数h(z)＝0存在一个正根z0的情况下，那么就存在穿越频率ω0。为了符合一般条件，我们假设h(z)＝0有12个正实根z
m
(m＝1,2,
…
,12)，那么就对应着穿越频率ω也有12个正根因此根据上述求得的关系式(12)可以反解出时滞参数的表达式，即：
[0136][0137]
最后，取
[0138]
分岔点是系统从稳定到不稳定的一个临界点，那么对应的特征方程的根要从该点处穿越虚轴到达虚轴的右半平面，因此在该点处特征根对于分岔参数τ的导数在τ0处的实部是大于零的，那么特征根才能从左半平面穿越到右半平面。
[0139]
为了验证穿越条件，我们给出如下假设：
[0140]
(h1)δ(ω0,τ0)＞0
[0141]
引理2：若s(τ)＝ξ(τ) iω(τ)是特征方程的的根，并且满足如果假设成立，那么就可以得到如下穿越条件
[0142][0143]
证明：对特征方程关于τ求导，可以得到
[0144][0145]
通过分式有理化，并且经过穿越条件的分析，只需给出实部大于零这一充分条件即可
[0146][0147]
因此在满足上述假设(δ(ω0,τ0)＞0)时，经过计算得到分母不等于零而且平方和大于零，可以证明穿越条件得到满足。
[0148]
根据hopf分岔理论和引理1
‑
2，可以得到如下定理。
[0149]
定理1：如果a
j
＞0(j＝1,2,...,11)，a
12
＜0且δ
j
＞0(j＝1,2...,6)，则下面结论成立
[0150]
1)当0≤τ＜τ0，分数阶环状基因调控网络在正平衡点处渐进稳定。
[0151]
2)当τ＝τ0时，分数阶基因调控网络在正平衡点处产生hopf分岔。
[0152]
3)当τ＞τ0时，分数阶基因调控网络在正平衡点处不稳定，
[0153]
从而产生极限环。
[0154]
在本实施例中，在在含有时滞的非线性定常系统(无控分数阶环状基因调控网络模型)中加入状态反馈控制器，优化其稳定性能，使优化后的系统得以在更大的范围内稳定，在加入控制器后，受控分数阶环状基因调控网络模型如下所示：
[0155][0156]
受控系统中各个参数的实际意义与无控模型(1)一致，其中f1,f2,f3分别是状态反馈控制器的控制系数。显然，控制器的加入并没有改变系统的正平衡点。因此这种控制方法可以在不改变原系统特性的前提下实现分岔控制。此外，线性项f1(p(t)
‑
p*)用于将hopf定
位的起始点重新定位到所需的原点位置，但是非线性项f2(p(t)
‑
p*)2和f3(p(t)
‑
p*)3可以被用来调节分岔的性质。
[0157]
与无控系统分析方法一样，依旧只分析系统正平衡点处的稳定性。令v
i
(t)＝m
i
(t
‑
τ
pi
)
‑
m
i
*、v
i 3
(t)＝p
i
(t)
‑
p
i
*(i＝1,2,3)，假设τ
i
＝τ
mi
τ
pi
(i＝1,2,3)，则受控系统(15)在平衡点处的线性化方程为：
[0158][0159]
其特征方程为：
[0160][0161]
上面的特征方程等价于：
[0162]
s
6α
l1s
5α
l2s
4α
l3s
3α
l4s
2α
l5s
α
l6 l7e
‑
sτ
＝0
ꢀꢀꢀ
(20)
[0163]
其中
[0164]
[0165]
令是特征方程(20)的根，将s带入特征方程并分离其实部和虚部可得到：
[0166][0167]
其中
[0168][0169]
μ1＝ω
6α
cos(3απ) l1ω
5α
cos(5απ/2) l2ω
4α
cos(2απ) l3ω
3α
cos(3απ/2) l4ω
2α
cos(απ) l5ω
α
cos(απ/2) l6[0170]
η1＝ω
6α
sin(3απ) l1ω
5α
sin(5απ/2) l2ω
4α
sin(2απ) l3ω
3α
sin(3απ/2) l4ω
2α
sin(απ) l5ω
α
sin(απ/2)
[0171]
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(23)
[0172]
由方程(22)可得到
[0173][0174]
又因为sin2(ωτ) cos2(ωτ)＝1，所以
[0175]
ω
12α
a1ω
11α

…
a
11
ω
α
a
12
＝0
ꢀꢀꢀ
(25)
[0176]
其中
[0177][0178]
由劳斯
‑
赫尔维兹(routh
‑
hurwitz)稳定性判据可知，如果式子(9)中δ
j
＞0(j＝1,2...,6)，则当τ＝0时，特征方程(20)所有的特征根都具有负实部。
[0179]
根据hopf分岔理论和引理1
‑
2，可以得到如下定理2。
[0180]
定理2：如果a
j
＞0(j＝1,2,...,11)，a
12
＜0且δ
j
＞0(j＝1,2...,6)，则下面结论成立
[0181]
1)当0≤τ＜τ0′
，受控分数阶环状基因调控网络在正平衡点
处渐进稳定。
[0182]
2)当τ＝τ0′
时，受控分数阶基因调控网络在正平衡点处产生hopf分岔。
[0183]
3)当τ＞τ0′
时，受控分数阶基因调控网络在正平衡点处不稳定，产生极限环。
[0184]
此外，为了实现上述分数阶环状基因调控网络的状态反馈控制方法，本实施例还提供了一种分数阶环状基因调控网络的状态反馈控制装置；
[0185]
参考图2，该装置包括以下单元：
[0186]
模型建立单元1，用于根据基因调控生物学理论，建立无控分数阶环状基因调控网络模型；
[0187]
平衡点计算单元2，用于计算得到所述无控分数阶环状基因调控网络模型的正平衡点；
[0188]
状态反馈控制单元3，用于对所述无控分数阶环状基因调控网络模型施加状态反馈控制器，得到受控分数阶环状基因调控网络模型；
[0189]
线性化单元4，用于将所述受控分数阶环状基因调控网络模型在所述正平衡点进行线性化，得到线性化后的受控模型；
[0190]
稳定性分析单元5，用于选取总时滞作为分岔条件，对所述线性化后的受控模型进行稳定性分析，得到受控模型的临界总时滞稳定性分析结果；
[0191]
控制参数确定单元6，用于根据所述受控模型的稳定性分析结果确定所述状态反馈控制器的参数值，以实现对分数阶环状基因调控网络的状态反馈控制。
[0192]
进一步地，为了验证本实施例状态反馈控制器的控制效果，进行了如下仿真实验：
[0193]
给定无控分数阶环状基因调控网络模型：
[0194][0195]
参数的值如下所示：
[0196]
对于i＝1,2,3，a
i
＝6,b
i
＝2,c
i
＝2,g(p)＝4/(1 p2)，通过计算得到此时系统的正平衡点为(0.5448,0.5448,0.5448,1.6344,1.6344,1.6344)，下面利用matlab绘图软件进行数值仿真。
[0197]
(1)当α＝1时，临界时滞τ0＝4.625。取τ＝4.2＜τ0时，平衡点稳定(参考图3)；取τ＝4.8＞τ0时，平衡点不稳定，系统由于发生hopf分岔现象，从而产生极限环(参考图4)。
[0198]
(2)当α＝0.95时，临界时滞τ0＝5.125。取τ＝4.8＜τ0时，平衡点稳定(参考图5)；取
τ＝5.4＞τ0时，平衡点不稳定，系统发生hopf分岔现象，从而产生极限环(参考图6)。
[0199]
(3)分别取不同的分数阶阶数α，发现系统临界时滞随着阶数的升高而减小，临界时滞τ0与分数阶阶数α的关系参考图7。
[0200]
结论：稳定性的仿真验证了推理结果，当τ＜τ0时，系统稳定，当τ＞τ0时系统不稳定，出现hopf分岔现象。通过多次改变分数阶阶数α，发现系统临界时滞τ0随着阶数α的减小而变大，因此可以通过减小分数阶阶数使系统临界分岔点延迟，进而使系统能够在更大的时滞范围内稳定。
[0201]
本实施例中，还对加入状态反馈控制器得到的受控系统模型进行了以下仿真实验：
[0202]
(1)首先设置状态反馈控制器的参数为f1＝
‑
0.2，当分数阶阶数α为1时，仿真结果参考图8，临界时滞τ0'＝5.213，相比于设置控制器之前的τ0＝4.625增大了，即在加入状态反馈控制器之后，在原本不稳定的位置，系统能够稳定了，验证了控制器加强系统稳定性的推理，达到了控制系统使其在更大范围内稳定的目的。
[0203]
(2)设置状态反馈控制器参数为f1＝0.2，当分数阶阶数α仍为1时，仿真结果参考图9，临界时滞τ0'＝3.851，相比于设置控制器之前的τ0＝4.625减小了，即通过调节状态反馈控制器的参数，也能系统临界分岔点提前，使原本稳定的系统变成不稳定。
[0204]
(3)当f1＝
‑
0.2时，随着分数阶阶数α的改变，仍然发现系统临界时滞随着阶数的升高而减小，临界时滞τ0′
与分数阶阶数α的关系参考图10。
[0205]
(4)分别固定分数阶阶数α为1，0.9，0.8，考虑系统临界时滞τ0'与控制器参数之间的关系，发现系统临界时滞随着状态反馈控制器参数的增大而减小，并且阶数越低，下降速度越快，参考图11。
[0206]
需要说明的是，在本文中，术语“包括”、“包含”或者其任何其他变体意在涵盖非排他性的包含，从而使得包括一系列要素的过程、方法、物品或者系统不仅包括那些要素，而且还包括没有明确列出的其他要素，或者是还包括为这种过程、方法、物品或者系统所固有的要素。在没有更多限制的情况下，由语句“包括一个
……”
限定的要素，并不排除在包括该要素的过程、方法、物品或者系统中还存在另外的相同要素。
[0207]
上述本发明实施例序号仅仅为了描述，不代表实施例的优劣。在列举了若干装置的单元权利要求中，这些装置中的若干个可以是通过同一个硬件项来具体体现。词语第一、第二、以及第三等的使用不表示任何顺序，可将这些词语解释为标识。
[0208]
以上仅为本发明的优选实施例，并非因此限制本发明的专利范围，凡是利用本发明说明书及附图内容所作的等效结构或等效流程变换，或直接或间接运用在其他相关的技术领域，均同理包括在本发明的专利保护范围内。